Бесплатная публикация статей в журналах ВАК и РИНЦ

Уважаемые авторы, образовательный интернет-портал «INFOBRAZ.RU» в рамках Всероссийской Образовательной Программы проводит прием статей для публикации в журналах из перечня ВАК РФ по направлениям: экономика, философия, политология, педагогика, филология, биология, сельское хозяйство, агроинженерия, транспорт, строительство и архитектура и др.

Возможна бесплатная публикация статей в специализированных журналах по многим отраслям и специальностям. В мультидисциплинарных журналах возможна публикация по всем другим направлениям. 

Журналы реферируются ВИНИТИ РАН. Статьям присваивается индекс DOI. Журналы включены в международную базу Ulrich's Periodicals Directory и РИНЦ.

Подпишитесь на уведомления о доступности опубликования статьи - ПОДПИСАТЬСЯ

Геометрия 8-го класса в планиметрических задача ЕГЭ

Цели занятий:

  • Образовательные: систематизировать знания учащихся при подготовке экзаменам, применять теоретический при решении задач.
  • Развивающие: развитие познавательного интереса, внимания, логического мышления.
  • Воспитательные: воспитание настойчивости для преодоления возникающих трудностей, повышение самооценки учащихся.

Тип занятий: обобщающее повторение на факультативах и уроках геометрии при подготовке к ЕГЭ по учебнику Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф.и других, Москва, “Просвещение”, 2006г.

I блок. Свойство медианы треугольника.

Теория:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины (п. 62).

2. Задача № 571:

id18114

id18114значит, id18114.

3. Медианы разбивают заданный треугольник на шесть равновеликих.

Доказательство:

т.к. OC1- медиана id18114то id18114

т.к. id181141=id181142 (п.52), id18114 значит id18114

id18114id18114

Аналогично рассуждая, получим: id18114.

Задача 1. Площадь треугольника ABC равна 60. Точка C является серединой отрезка AC1. Медиана AA1 треугольника ABC1 пересекает сторону BC в точке M. Найдите площадь четырёхугольника CMA1C1.

id18114

По условию задачи AA1 и BC – медианы id18114.

Провели медиану C1K. id18114 разбился на 6 равновеликих треугольников. Тогда id18114.

Ответ: 40

Задача 2. В треугольнике медианы, длины которых 3 и 4, пересекаются под прямым углом. Найти площадь треугольника.

id18114id18114

BB1 и CC1 - медианы,

BB1 https://urok.1sept.ru/articles/513609/img9.gif (107 bytes)CC1 ; BB1 = 4; CC1= 3.

По свойству медиан C1O = id18114 , тогда C1O = 1; id18114; id18114.

Ответ: 8.

II блок. Вписанная окружность.

Теория:

  1. Свойство касательных: отрезки касательных к окружности, проведённые из одной из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр и эту точку (п. 69).
  2. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
  3. Суммы длин противоположных сторон описанных четырёхугольников равны (п.74).
  4. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис описанного многоугольника.
  5. Формула площади описанного многоугольника: id18114, где r – радиус вписанной окружности, P – периметр многоугольника.

Задача 3. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. Через центр О вписанной окружности проведён луч ВО, пересекающий катет АС в точке М. Известно, что id18114. Найдите гипотенузу.

id18114

Т.к. О – точка пересечения биссектрис, то id18114ABM=id18114CBM, значит id18114MAB=id18114MBA, следовательно, id18114 - равнобедренный, тогда id18114.

id18114C=900 ,id18114A=id18114MBC, т.е. id18114

id18114

id18114

Из id18114 по теореме Пифагора id18114

Составим уравнение

id18114

Из id18114 по т. Пифагора: id18114= id18114

Ответ: 24

Задача 4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. найдите радиус окружности, если АМ=6, ВМ=24

id18114

https://urok.1sept.ru/articles/513609/img7.gif (286 bytes)

Т.к id18114- равнобедернный, то AB=AC=30

По свойству касательных: АМ=АЕ=6,СЕ=СК=24,ВМ=КВ=24,значит ВС=48

По формуле Герона id18114

id18114

Ответ: 8

Задача 5. прямоугольная трапеция описана около окружности радиусом 2. Найдите площадь трапеции, если одно из её оснований больше другого основания на 3.

id18114

id18114; М, Е, К, N – точки касания, О - точка пересечения биссектрис, id18114С+id18114D=1800 , тогда id18114, значит, id18114

M – точка касания, OM – радиус, проведённый в точку касания, следовательно , OMhttps://urok.1sept.ru/articles/513609/img9.gif (107 bytes)CD.Воспользуемся пропорциональностью отрезков в прямоугольном треугольнике (п. 63). OM – среднее геометрическое для отрезков CM и MD:

id18114

 Примем id18114, тогда id18114. По свойству касательныхid18114 

id18114

Так как трапеция прямоугольная , то OK=BN=BK, OE=AN=AE. Т. к. AD>BC на 3, то AD=BC+3

id18114

Задача 6. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки длинной 1 и 9 . Найти площадь трапеции.

Аналогично решению задачи №5

id18114

id18114

По свойству сторон описанного четырехугольника id18114, тогда P=32

id18114

Ответ: 48.

III блок. Описанная окружность

Теория:

  1. Центральный угол измеряется величиной дуги, на которую он опирается (п.70)
  2. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
  3. Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды (п.71)

Задача 7. Высоты АН и ВК остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке М, id18114АВМ=1050 . Найдите градусную меру угла АВО, где О- центр окружности, описанной около треугольника АВС

id18114

id18114

Задача 8. в треугольнике ABC угол В равен 300 . около треугольника описана окружность радиуса 12. хорда ВК проходит через середину М стороны АС, причем МК=2. Найдите ВМ

id18114

id18114

IV Блок. Подобные треугольники. (пп 59, 60, 61)

Задача 9. В прямоугольном треугольнике ABC (id18114C=900 ), из вершины прямого угла проведена высота CH. Периметры треугольников ACH и BCH равны соответственно 3 см и 4 см. Найдите периметр треугольника ABC.

id18114

id18114

Примем CH=x, x>0, тогдаid18114

В треугольнике ABC BC – среднее геометрическое для AB и BH id18114. По условию P периметр id18114 равен 4 см, тогда id18114, X=1

Значит, CH=1см; PABC= 7 – 5 = 5. Ответ: 5

Задача 10. Найти периметр равнобедренного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 3, а высота, проведённая к основанию, равна 8.

id18114

PABC = 2AB + AC

M – точка касания. Проведём ОМ. ОМhttps://urok.1sept.ru/articles/513609/img9.gif (107 bytes)ОС (как радиус, проведённый в точку касания).

id18114 (id18114 OBM – общий, id18114 BMO = id18114BHC = 900 )

id18114

Из id18114 по теореме Пифагора

id18114

id18114

Из id18114 по теореме Пифагора id18114.

Ответ: 32

V Блок. Свойства биссектрисы треугольника.

Теория:

  1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон (п. 72)
  2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника (№ 535)

Задача11. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты ВМ и АН пересекаются в точке К, причём АК=5, КН=3. Найдите площадь треугольника АВК. Проведём высоту СЕ. Она проходит через точку К (п. 73).

id18114

SАВК=id18114. Так как треугольник АВС – равнобедренный, то высота ВМ является биссектрисой.

КЕ=КН=3. Из треугольника АЕК по т. Пифагора id18114. В треугольнике АВН  ВН - биссектриса и делит сторону АН на отрезки, пропорциональные сторонам АВ и ВН:id18114.

Примем ВН = х, где х>0, тогда id18114. АВ = 6+4=10.

id18114. Ответ 15.

Задача 12. В ромбе АВСD из вершины тупого угла В проведена высота ВН к стороне АD. Она пересекает диагональ АС в точке М. Сторона ромба равна 15, а его площадь равна 135.

Найдите площадь треугольника АМН

.id18114

id18114. SABCD= AD. BH. ВН = 135:15 = 9. Из треугольника АВН по теореме Пифагораid18114,id18114. Так как диагональ ромба является биссектрисой (п.46), то по свойству биссектрисы треугольника АВН  получим id18114id18114Примем МН=х, х>0, тогда

id18114

Ответ:24.

Задача 13. Площадь равнобедренного треугольника АВС равна 20. К основанию АС и стороне ВС проведены высоты BD и АН, пересекающиеся в точке К. Найдите площадь треугольника ВКН, если id18114

.id18114

id18114id18114 тогда  АВ=ВС (так как треугольник АВС-равнобедренный). Из треугольника АВН :

1) по т. Пифагора id18114

2) ВК – биссектриса, поэтому id18114.

Примем КН = х, х>0, тогда id18114,id18114, КН = id18114. id18114. Ответ: 4,5.

Литература:

  1. Учебник для общеобразовательных учреждений “Геометрия 7-9”, Л.С. Атанасян,В.Ф. Бутузов и другие. Москва, “Просвещение”, 2006г.
  2. КИМ “ЕГЭ -2006” под редакцией Л.О.Денищевой. Москва, “Просвещение”, 2006г
  3. “Типовые тестовые задания ЕГЭ” - 2007г, Т.А. Корешкова, Ю.А.Глазков, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелёва. Москва, “Экзамен”, 2007
  4. КИМ “ ЕГЭ – 2007”, Ю.А. Глазков, Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин, Н.В.Шевелёва. Москва, “Экзамен” -2007г
  5. “Тренировочные задания ЕГЭ” -2008, Т.А. Корешкова, Н.В.Шевелёва, В.В. Мирошин. Москва, “Эксмо” -2008.

20.03.2008