Геометрия в практической деятельности

Категория: Математика.

Учителю математики следует шире использовать на уроках задачи, возникающие в практической деятельности человека и показывающие необходимость математических знаний для людей самых разных профессий.

Я привожу задачи с несложной и совершенно реальной фабулой, требующие для своего решения самых различных идей и методов школьной геометрии.

Построение треугольника

З а д а ч а 1. Для определения по карте места нахождения S судна с помощью радиопеленгатора определяют углы SAB и SBA, где А и В береговые радиомаяки, изображённые на карте. Ту же задачу решают с помощью радиолокатора, определяя расстояние от S до А и до В. как найти на карте месторасположение судна по данным: а) радиопеленгатора, б) радиолокатора?

Р е ш е н и е сводится к построению треугольника:

а) по стороне и двум углам,
б) по трём сторонам.

Сумма углов треугольника

З а д а ч а 2. Для измерения величины угла между наклонной и горизонтальной прямыми на местности используют специальный прибор – эклиметр, принцип действия которого ясен из рис. 1 (ОР – нить с грузиком, отвес). Докажите, что нить ОР показывает на шкале величину искомого угла.

Рис.1

Рис.2

Р е ш е н и е. Проведём прямую ОВ, перпендикулярную прямой OS.

Так как угол OPS прямой, то суммы величин углов PSO и SOP, POB и SOP равны. Отсюда следует, что величины углов POB и PSO равны.

Теорема Пифагора

З а д а ч а 3. Телевизионные радиосигналы распространяются на 15% дальше пределов прямой видимости антенны. При каком наибольшем расстоянии s от определяющей антенны высоты H можно принять телепередачу с помощью приёмной антенны высоты h? Определите, при каком максимальном расстоянии можно принять передачу с помощью антенны в 20 м с Останкинской телебашни (её высота 538 м).

Р е ш е н и е. Вершина В принимающей антенны (рис.2) за счёт шаровой поверхности Земли будет в крайнем случае ещё видна из вершины передающей антенны А тогда, когда точки А и В лежат на касательной к земной поверхности. В этом случае имеем

| АС |² = | ОА |² – | ОС |² = Н (2R + Н),

где R – радиус Земли. Так как Н очень мало по сравнению с 2R, то полагаем, что 2R + Н 2R, а поэтому | АС | .

Полагая в этой формуле | АС | 3,6 • 10³ • , при R 6,4 • 10

Определив таким же образом | ВС |, найдём | АВ |. Увеличив полученную величину на 15% получаем искомую формулу для s (в метрах): s 4,1 • 10³ ( + ), которая и приводится в справочниках. Из неё теперь нетрудно получить ответ на второй вопрос задачи.

Длина окружности

З а д а ч а 4. При правильном (без пробуксовки) повороте колёса экипажа должны катиться по дугам концентрических окружностей. Возможно ли это при одинаковой линейной скорости вращения ободов колёс? Выясните, как эта проблема решена технически в автомобиле и вагоне поезда.

Р е ш е н и е. Пусть точки А и А1 (рис. 3) соответствуют началу поворота, а точки В и В1 – его окончанию. Тогда за одно и то же время обод одного колеса пробегает дугу АВ, а другого – дугу А1В1. Из формулы длины дуги окружности замечаем, что эти дуги разной длины. Значит, ободы колёс должны вращаться с разной линейной скоростью.

В автомобиле нужный эффект достигается за счёт того, что каждое колесо (в том числе и ведущие) имеет свою ось, и потому они могут вращаться даже с различными угловыми скоростями. В вагоне поезда соответствующие пары колёс сидят на одной оси и вращаются с одинаковой угловой скоростью. Необходимый эффект достигается за счёт конической поверхности обода колеса (рис. 4,а). Колёса на повороте как бы меняют свой диаметр: одно увеличивается, а другое уменьшается (рис.4,б)

Рис. 3

Рис. 4

З а д а ч а 5. Впервые длину радиуса Земли нашёл древнегреческий учёный Эратосфен. Эратосфен узнал: когда в городе А солнце находится в зените, в городе В, находящемся с А на одном меридиане, солнечные лучи с отвесной прямой угол величины В

= 7^о 12' (рис. 5). Оценив по времени движения каравана расстояние от А до В (800 км), он вычислил радиус Земли. Какое значение у него получилось?

Р е ш е н и е. Так как прямые SА и SВ (лучи солнца) параллельны, то величины углов АОВ и SВР равны, а потому из формулы для длины дуги окружности находим: (км)

Рис. 5

З а д а ч а 6. Известно, что пучок света от фар расходится под углом = 2^о к направлению движения, а на дороге проектируемой категории видимость должна быть не менее s метров. Какой радиус закругления допустим на такой дороге?

Р е ш е н и е. Пусть автомобиль находится в точке А (рис. 6) и фары освещают дугу АВ длины l. Так как направленные движения совпадают с касательной к траектории, то сумма углов СОА и САО равны сумме углов МАС и САО. Отсюда следует, что величина угла АОВ равна 4^о. Так как в нашем случае должно выполняться неравенство l s, то из формулы для длины дуги окружности получаем , или R > 14, 3 · s.

Площадь треугольника

З а д а ч а 7. В землеустроительной практике иногда бывает необходимо ломаную границу АВС (рис. 7) двух полей заменить отрезком так, чтобы площади полей не изменились. Как это сделать?

Рис. 6

Рис. 7

Р е ш е н и е. Через точку В проведем прямую, параллельную прямой АС. Она пересечет границу массива в некоторой точке D. Покажем, что отрезок АD и может служить искомой границей.

После спрямления границы поля как бы поменялись треугольниками АОВ и DOC. Требуется доказать, что эти треугольники равновелики. Но это сразу следует из равновеликости треугольников АВС и АDС.

Площади многоугольников

З а д а ч а  8. В землеустроительной практике нужно разделить участок треугольной формы на три равновеликих трапеции, так как такая форма удобнее для механизированной обработки. Как это сделать?

Р е ш е н и е . Через точку О пересечения медиан треугольника АВС (рис. 8) проведем прямые, параллельные сторонам. Получим разбиение треугольника на три трапеции ОDAE, ОЕВF, ОFСD. При этом

S_ODAE = S_ODAE + S_OF1E

S_OEBF = S_CEBD1 + S_OD1F

Отрезок DD₁, параллельный стороне АВ, делиться медианой СС₁ пополам. Поэтому площади параллелограммов ОDAF₁ и OEBD₁ равны. Треугольники ОF₁E и ОD₁F конгруэнтны по стороне и двум прилежащим углам. Значит, их площади тоже равны. Поэтому трапеции ODAE и OEBF равновелики. Аналогично устанавливается равенство площадей трапеции ОFCD и ODAE.

Рис. 8

Рис. 9

Объем призмы

З а д а ч а 9. При одном из способов защиты почв от смыва на склонах штампуют лунки в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием (сторона квадрата 50 см.) и высотой 10см. Определите, сколько литров воды может собраться в такой лунке на склоне с углом наклона в 10^о, если:

а) одна из сторон основания лунки горизонтальна,

б) одна из диагоналей основания лунки горизонтальна.

Р е ш е н и е.

а) Из рис. 9 видно, что | BL|= 50 tg 10^о < 10. Поэтому в момент наибольшего наполнения лунки слой воды представляет собой призму высоты 50 см, основанием которой является трапеция Аа₁В₁L. Поэтому объем воды

V= 25 · (|AA₁|+|LB₁|) · 50 = 500 · 25 (2 – 5 tg 10^о) 14 (л).

б) Так как одна из диагоналей основания параллелепипеда горизонтальна, то перпендикулярная ей диагональ АС (рис.10) расположена по направлению склона и образует с плоскостью воды угол в10^о.

Рис. 10

Поэтому |А₁L|=10ctg 10^о 56,7. Сравнивая с длиной диагонали |А₁С₁| = 50 70,7, заключаем, что вода не покрывает полностью основание лунки.

Определив положение точки L, построим (рис.11) сечение параллелепипеда плоскостью поверхности воды.

Рис. 11

Для этого достаточно провести через L прямую, параллельную горизонтальной диагонали В₁D₁, и продолжить стороны А₁В₁ и А₁D₁.

Объем воды получим, если вычтем из объема пирамиды АА₁МN объема конгруэнтных пирамид ВB₁МЕ и DD₁NF. Основание пирамиды АА?МN является равнобедренный прямоугольный треугольник с высотой А₁L, основание которого |МN| = 2 |А₁L|. Поэтому V_AA1MN = | AA1| • | A1L|І 10,7 (л).

Основание пирамиды ВВ₁МЕ – равнобедренный прямоугольный треугольник, высота которого равна |О₁L|=|A₁L| - |A₁O₁| 24,4. Высота пирамиды равна |О₁Р| (см. рис. 11), а |О₁Р| = |АА₁| - |РО| 3,8. (рис.10). Отсюда V_BB1ME = | P1O | • | O₁L|² = 0,6 (л).

Значит, объем воды в лунке равен 9,5 л. Сравнение вариантов а) и б) показывает, что первый способ штампования лунок целесообразнее.

Объем шара

З а д а ч а 10. При защите почвы отводной эрозии на склонах иногда делают лунки в форме полушара диаметра d. Сколько воды может накопится в такой лунке на склоне с углом наклона ?

Рис. 12

Р е ш е н и е. Объем воды равен объему (рис.12) шарового сегмента:

V = H² (d – H),

где Н – высота сегмента. Так как расстояние от центра лунки до поверхности воды

| OP | = , то Н =

Отсюда находим

Несколько задач практического характера

В курсе геометрии учащиеся знакомятся с формами геометрических тел и формулами для вычисления их поверхностей и объемов. Однако часто учащиеся чувствуют себя совершенно беспомощными при решении задач, где геометрический факт является не главным, а только вспомогательным для ответа на чисто производственный вопрос. Затрудняют их также задачи на комбинации геометрических тел или, такие в которых элементам геометрических фигур и самим фигурам даются не школьные названия, а иные, принятые в технике. Таким задачам желательно уделять более серьезное внимание, подчеркивая каждый раз то, что они очень часто встречаются в производстве: в токарном, слесарном, столярном деле и т.д.

Приведем несколько таких задач.

1. Воронка имеет форму усеченного конуса, у которого диаметры оснований 600 и 300 мм, а высота 500 мм. Сколько жести пойдет на ее изготовление, если на припуск добавляется 5% площади поверхности воронки?

2. Паровой котел (рис.1) имеет длину 8000 мм и внешний диаметр 4000 мм. Какое количество листов стали марки Ст3 КП необходимо для его изготовления, если известно, что лист стали такой марки имеет размеры 6 х 1,5 м?

Внутри котла проходят четыре жаровые трубы диаметром 400 мм. Вычислите их общий объем.

Рис. 1

3. Из деталей, имеющих формы правильной треугольной и четырехугольной призм, необходимо изготовить цилиндры наибольшего объема. Какой процент материала пойдет в отходы в каждом случае?

4. Для придания детали формы “фланец” определяют угол среза для соответствующей установки резца. По данным на рис. 2 найдите ?

Рис. 2

5. Для правильной обработки детали формы “клин” на токарном станке необходимо рассчитать угол конуса , т.е. величину угла АОВ на рис. 3. Вычислите по данным размерам.

Рис. 3

6. На рис. 4 показан ящик для упаковки арматуры и даны его размеры (в мм). Определите объем ящика и количество материала, необходимого для его изготовления. Можно ли изготовить ящик такого же объема, на который пойдет меньше материала того же качества?

Рис. 4

6.12.2004

• Назад
• Вперед