Головоломки на Математическом празднике в МГУ
Математический праздник – это большая олимпиада для младших школьников 6-го и 7-го классов, которым нравится математика. В нем участвует более тысячи учеников в каждой параллели. Организует и проводит праздник Московский Центр Непрерывного Математического Образования (МЦНМО). Проводится он Главном корпусе Московского Государственного университета им. М.В. Ломоносова. Это действительно праздник, потому что помимо самой олимпиады для школьников, учителей и родителей читаются интересные лекции, проводятся математические игры, осуществляется показ мультфильмов, ну и, конечно, награждение победителей олимпиады.
Два часа участники олимпиады решают нестандартные задачи. Организаторы олимпиады стремятся подобрать интересные задачи, для решения которых не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы, приветствуется смекалка и воображение. Некоторые из них похожи на головоломки и предлагаются на отдельных листах. Для общего представления привожу пример одной из них:
Обратите внимание, всё подготовлено для поиска решения, нарисована квадратная матрица во множестве экземпляров, чтобы ребята не тратили время на не творческую работу.
Через Рослову Л.О. главного редактора журнала «Математика» Издательского дома «1 сентября» организатор праздника Ященко И.В. предложил мне принять участие со своими головоломками в Математическом празднике. Я с удовольствием согласился. И вот 19 февраля 2012 года я в Главном корпусе МГУ.
Пока ребята решали олимпиадные задачи, для их учителей проводился семинар "Как развивать одаренных детей?", на котором выступающие делились опытом своей работы. Я тоже выступал со своей презентацией "Головоломки на математических олимпиадах", в которой представил свои авторские олимпиадные задачи, в основе которых лежит та или иная головоломка. Это я сделал с большим удовольствием.
Кроме этого организаторы просили провести интерактивное общение ребят с моими головоломками. Для этого я привез с собой чемодан с моими «походными». В связи с большим числом желающих познакомиться с головоломками мне в помощники выделили пять студентов мехмата, которые, во-первых, помогали мне представлять ребятам привезенные головоломки, во-вторых, я открыл им секреты головоломок, чтобы, потом в течении пяти часов они уверенно общались со школьниками, правильно оценивали их решения, или помогали отчаявшимся найти решение этих головоломок.
Отличившимся в решении ребятам в качестве поощрений вручались фирменные шоколадки, значки, ручки, CD-диски и т.д. Ребята-студенты вели на персональных бланках учет достижений участников олимпиады, ставили специальную печать, подтверждающую решение учеником очередной головоломки. В заключительной части Математического праздника подводились итоги и выявлялись лидеры по числу решенных головоломок. Было интересно всем. У нашего стенда с головоломками всегда было многолюдно: дети, их учителя и родители. Кроме них к нашим головоломкам заглядывали любопытные студенты МГУ.
Сотни девчонок и мальчишек пробовали свои силы в решении математических головоломок. «Разбрелись» они по всему огромному холлу Главного корпуса МГУ. Думал, что я больше не увижу большинства привезенных с собой головоломок. Но, к моей большой радости, к концу мероприятия все головоломки вернулись в мой чемодан.
Какие же головоломки так увлекли ребят после двухчасового погружения в непростые олимпиадные задачи? Представлю некоторые из них.
Головоломка «Пестрый икосаэдр». Правильные многогранники поражают своей симметрией, совершенством форм и просто красивы. А головоломки с ними красивы вдвойне. Этот икосаэдр собран 12 шариков и 30 палочек пяти различных цветов – по шесть палочек красного, жёлтого, зеленого, синего и белого цветов. Каждая палочка на концах имеет магниты, поэтому без труда притягивается к стальному шарику. Икосаэдр легко собирается, но головоломка заключается в том, чтобы собрать такую каркасную модель икосаэдра, в котором в каждой его вершине сходятся пять ребер разного цвета. На фотографии собран каркас икосаэдра, в котором цветовое условие не выполнено.
Любопытные ребята здесь же заинтересовались и выяснили, что свойством «пёстрости» обладают все правильные многогранники. Уточню, что здесь многогранник называется пестрым, если в каждой его вершине сходятся ребра разного цвета и количество цветов совпадает с числом ребер, сходящихся в каждой вершине многогранника.
Головоломка «Тетракуб», содержит шестнадцать одинаковых N-образных элементов. Каждый из них состоит из четырех кубиков 1×1×1. Требуется сложить куб 4×4×4, хотя на первый взгляд, кажется, что это невозможно. Решение головоломки не лежит на поверхности. Более того, на первый взгляд кажется, что это сделать невозможно! Оказывается, что решение есть.
Пытливые ребята смогли справиться с «Тетракубом». Более того, они придумали много других симметричных фигур, которые можно сложить из всех элементов головоломки.
Головоломка «Арифметика на кубиках» – это головоломка придуманная во времена СССР. Фабричный вариант головоломки из красных кубиков выпускался в Советском Союзе в 80-х годах прошлого века. Из белых кубиков представлен самодельный вариант.
Головоломка состоит из пяти кубиков: три кубика с числами 1, 2, 3 и 4, обозначенные точками; один кубик со знаками действий «+», «–», «х» и «:» и один кубик с четырьмя знаками «=». Две противоположные грани каждого кубика не имеют символов, именно через центры этих граней просверлено сквозное отверстие. Кубики насажены на общую ось и могут вращаться на ней, кроме того, кубики с числами можно менять местами. Схема наклеек с символами для каждого кубика приведена справа.
Цель играющего – путём вращения и перестановок кубиков сложить параллелепипед 1х1х5 так, чтобы на каждой его боковой грани получить верное числовое равенство. Нетрудно посчитать, что головоломка имеет 83•6=3072 состояний и лишь только два из них дают по четыре верных равенства. Головоломка трудненькая, но пытливые участники олимпиады смогли добиться нужного расположения кубиков, и заработать баллы в свою ведомость
Конечно, сейчас не купить такую головоломку, но если кто-то захочет поиграть с ней, то её можно сделать самому. Для этого найдите пять одинаковых кубиков, просверлите в каждом из них сквозное отверстие через центры противоположных граней. Далее кубики можно насадить на проволочную или деревянную ось, а лучше подготовить две короткие оси и насадить на одну из них кубик со знаками действий, на другую – кубик со знаками «=» так, чтобы ось выглядывала из каждого кубика. Тогда проще будет соединять кубики в параллелепипед, и манипулировать кубиками, переставляя их с одной позиции на другую, и вместе с тем легко вращать каждый кубик, подбирая нужную комбинацию чисел и знаков. Символы нужно нарисовать согласно предложенной схеме.
Головоломка «Катамино» представляет собой интересный вариант пентамино. Инновационным оказалось то, что разработчики Катамино вложили набор пентамино в прямоугольную коробку 5х12 и добавили к ней перегородку, которая может занимать десять разных положений. Это позволило, меняя положение перегородки, изменять размеры игрового поля.
Получилась многоуровневая головоломка. Ширина коробки катамино равна 5, поэтому, переставляя перегородку в новое положение, каждый раз получается отсек площадью кратной 5, и что удивительно, для каждого такого отсека можно подобрать нужный набор фигурок пентамино, которыми можно замостить этот отсек.
Задание первого уровня самое легкое. Поставьте перегородку в первое положение, у вас получится прямоугольник размером 3х5, и, подобрав три подходящие фигурки пентамино, вложите их этот прямоугольник.
Переставив перегородку во второе положение, вы получите задание второго уровня, в котором требуется выбрать какие-либо четыре фигурки пентамино и вложить их в образовавшийся прямоугольный отсек размером 4х5. И так далее до 10 уровня, в котором нужно упаковать все 12 фигурок в форму прямоугольника 12х5.
Таким образом, основная цель головоломки «Катамино» заключается в том, чтобы из подходящего набора пентамино сложить прямоугольники всё возрастающих размеров от 3х5 до 12х5, одна из сторон которых равна 5.
С точки зрения дидактики это идеальная головоломка, играя с которой выполняется важный принцип «От простого, – к сложному». Ведь часто как бывает? Получил ребенок трудную головоломку, не смог с ней справиться сходу, интерес к ней пропал, и головоломка осталось нерешенной. Здесь же всё иначе. Задания первых уровней – легкие, с ними справляются все. У решающего появляется вкус победы над головоломкой, интерес растёт, и тогда ему становятся по плечу другие уровни всё возрастающей трудности, в том числе и последний, десятый! Должен сказать, что участники Математического праздника благодаря своей смекалке и упорству доходили до последнего уровня и покоряли его!
Головоломка «Две подковы» Топологические головоломки сродни фокусам цирковых иллюзионистов, с одним лишь отличием: в них всё честно, никаких иллюзий и обмана. Среди топологических головоломок, пожалуй, наиболее популярны шнурковые головоломки, в которых различные предметы особым образом связаны веревками, и путём манипулирования с ними требуется освободить предметы от связки. Головоломка «Две подковы» является классическим представителем этого семейства головоломок.
В этой головоломке две подковы связаны двумя веревками так, как показано на фото. Концы первой веревки привязаны к концам первой подковы, концы второй веревки привязаны к концам второй подковы. Веревки при этом переплетены друг с другом простым продеванием.
Цель играющего – разъединить связанные таким образом подковы. На первый взгляд кажется: это невозможно! Ведь каждая подкова и привязанная к ней веревка образуют кольцо, значит, наша головоломка по сути два зацепленных друг с другом кольца, которые надо рассоединить. Как? Это же топологическая головоломка, здесь возможно даже самое невероятное.
Ребята с удивлением узнавали, что подковы можно разъединить, многие пробовали, но не всем удавалось! Те же, кто справлялся с головоломкой, получали маленькую шоколадку с эмблемой праздника в качестве приза. В народном поверии, подкова является символом удачи и счастья. Кому-то очень понравились головоломка «Две подковы», попросить ребенок постеснялся и ушел домой с головоломкой. Пусть она останется ему на счастье!
Моё участие в Математическом празднике буду долго вспоминать, потому что действительно было интересно общаться с умненькими и очень любопытными ребятами не только из Москвы. В празднике приняла участия делегация школьников из Франции.
Надо отдать должное организаторам праздника, он продуман до мелочей. Руководил всем праздником Ященко И.В. – директор Московского центра непрерывного математического образования. Он поблагодарил меня за интересную работу с детьми, и предложил принять участие в следующем празднике через год. Как говорится: «Поживем – увидим!»
Праздник запомнился общением со многими увлеченными математикой людьми, которые тоже организовывали свою работу с одаренными детьми, направленную на популяризацию математики. Андреев Н.Н. – заведующий лаборатории "Математические игры" при РАН, подарил мне демонстрационный макет наглядного доказательства теоремы Пифагора. Он уже в школе, мои ученики играют с ним по полной.
Познакомился с Дориченко С.А. – одним из организаторов международной олимпиады «Турнир городов», получил орт него предложение присылать свои новые авторские задачи для будущих олимпиад.
Здесь же получил приглашение выступить на Московском Марафоне учебных предметов во время Дня математики, который ежегодно проводит издательский дом "1 сентября". Короче всё было интересно!
В заключение, для более полного представления об атмосфере праздника, предлагаю посмотреть фотоотчет с Математического праздника на моей странице ВКонтакте https://vk.com/album10751707_153048127<. href="http://olympiads.mccme.ru/matprazdnik/">http://olympiads.mccme.ru/matprazdnik/