Графические интерпретации химических задач

Категория: Математика.

Графические интерпретации химических задач

Функциональная линия школьного курса математики является одной из основных линий, определяющих направление изучения многих тем курсов алгебры и начал анализа. Понятие функции широко применяется в математике и в других науках, например в физике, химии в связи с широким использованием математических методов исследования в изучении явлений окружающего мира.

Проиллюстрируем возможности использования на уроках химии понятий, связанных с понятием функции. Повторим основные теоретические положения, по возможности раскрывая их на примерах явлений материальной действительности.

Переменная величина – это такая величина, которая в условиях данного примера может принимать различные значения.

Постоянная величина - это такая величина, которая в условиях данного примера сохраняет неизменное значение.

Одна и та же величина в разных ситуациях может быть или постоянной или переменной.

Например, температура кипения воды при атмосферном давлении есть величина постоянная (), но если нужно считаться с изменением атмосферного давления, то температура – величина переменная.

Две переменные и связаны функциональной зависимостью, если каждому значению, которое может принять одна из них, соответствует одно или несколько определенных значений другой.

Например, температура кипения воды и атмосферное давление связаны функциональной зависимостью, каждому значению соответствует одно определенное значение и обратно. Так, если , то ; если , то и т.д.

Функциональные зависимости могут быть заданы следующими способами: аналитическим (формула), табличным, описательным, графическим.

При аналитическом способе функция задается математической формулой, с помощью которой значения вычисляются по заданному значению . При табличном способе все числовые значения аргумента располагают в одном столбце, а значения функции – в другом столбце так, чтобы каждому значению аргумента отвечало соответствующее значение функции.

Например, зависимость изменения скорости реакции протекающей по уравнению от концентрации не удается представить одной формулой, которая с нужной степенью точности охватывала бы все важные для практики случаи. Эта зависимость может быть представлена таблицей, часть которой имеет вид:

Время, с.	Объем , мл.

В таблице приведены типичные результаты эксперимента, позволяющего проследить изменение скорости реакций с течением времени. Если по этим результатам построить график, получится кривая скорости, которая показывает изменение во времени количества образующегося продукта или используемого реагента.

Для построения графика функции на оси абсцисс отмечают некоторые значения , , ,…одной из переменных (время, с) и строят ординаты , , ,…, представляющие значения другой переменной (объем ); получают ряд точек , , , … Соединив их плавной кривой, получим график данной функциональной зависимости (рис.1). Преимуществом графического изображения по сравнению с другими способами задания функции являются его наглядность и легкая обозримость.

Часто в задачах по химии требуется графически проиллюстрировать происходящие химические реакции. Покажем, как мы работаем с задачей, чтобы учащиеся могли схематически изобразить протекающие химические реакции.

Задача. Электролиз -ного водного раствора нитрата серебра (I) продолжали до тех пор, пока массовая доля растворенного вещества не стала равна . На одном графике изобразите зависимость от времени количества всех веществ, выделяющихся на инертных электродах. На другом графике (с тем же масштабом времени) изобразите зависимость массы раствора от времени. Объясните качественные особенности приведенных графиков.

Решение. Запишем суммарное уравнение электролиза водного раствора нитрата серебра: .

При электролизе массовая доля уменьшается, а массовая доля увеличивается. Найдем массовую долю при полном разложении . Допустим, то исходная масса равна г раствора, тогда в нем содержится г моль. По уравнению реакции находим, что моль, моль, моль.

После полного разложения масса раствора равна г. В растворе осталась азотная кислота, масса которой составляет: г, а ее массовая доля равна: . Но по условию массовая доля должна быть равна , следовательно, электролиз проходил в две стадии: сначала полностью разложился нитрат серебра, а затем при электролизе раствора частично разложилась вода, суммарное уравнение электролиза воды: .

Для построения графиков, будем считать, что сила тока постоянна и в одну секунду через раствор проходит моль электронов. Тогда из уравнений электродных процессов , ; следует, что на первой стадии электролиза каждую секунду на электродах выделяется моль (массой г) и моль (массой г), а на второй стадии за одну секунду выделяется моль (массой г) и моль (массой г). Значит, зависимость количеств выделившихся веществ от времени линейна, то есть графики – прямые линии.

Для построения графика зависимости количества веществ, выделившихся на электродах, от времени, на оси выберем момент времени - временную границу I-ой и II-ой стадий электролиза.

I-ая стадия. Известно, что растет на I-ой стадии, поэтому строим отрезок (как часть линейной возрастающей функции), угол наклона к оси выбираем произвольно. Количество в четыре раза меньше и тоже растет, значит, построим отрезок , который в четыре раза меньше отрезка (график линейной функции характеризуется тангенсом угла наклона к оси . , , но , значит, ). Итак, - график роста количества на I-ой стадии.

II-ая стадия. Нитрат серебра полностью разложился, это значит, что график представляет собой прямую, параллельную оси (количество больше не меняется). Количество продолжает расти по тому же закону, поэтому изобразим его рост лучом . Количество на этой стадии растет. Известно, что количество в два раза меньше количества , поэтому при графической интерпретации . Для построения угла вернемся в , в нем найдем середину стороны - точку и проведем вспомогательный луч . Теперь строим график для , для этого из точки проведем луч параллельно лучу (, где ).

Итак, рис.2 иллюстрирует графическую зависимость количества веществ от времени на каждой стадии процесса.

Уменьшение массы раствора за одну секунду на первой стадии электролиза составляет г (за счет и ушедших из раствора), а на второй стадии г. Зависимость массы раствора от времени линейна, то есть графики – прямые линии (части линейных убывающих функций). Отношение тангенсов углов наклона частей двух прямых (так как две стадии) равно .

Для построения графика зависимости массы раствора от времени, на оси выберем момент времени (ту же временную границу I-ой и II-ой стадий электролиза как требуется в задаче). Пусть масса раствора в начальный момент времени будет отмечена на графике точкой .

I-ая стадия. Известно, что масса раствора уменьшается на I-ой стадии, поэтому строим отрезок (как часть линейной убывающей функции), угол наклона к оси выбираем произвольно.

II-ая стадия. Масса раствора продолжает уменьшаться. Рассчитаем, в соответствии с выбранным углом , под каким углом (обозначим его ) к оси будет расположен график на II-ой стадии. В и , тогда . Отложим отрезок (для удобства построения, так как в этом случае, в отличие от первого графика, отношение тангенсов углов наклона выражено “неудобным” числом). Вычислим длину отрезка . В . Но , тогда или .

Теперь график можно уточнить, получили рис. 3.

Построенные графики наглядно показывают зависимость количества выделенных веществ на инертных анодах и изменение массы раствора с течением времени.

Рационально используя методы математики, можно устранить разноречивость в подходе к одному и тому же вопросу со стороны учителей различных предметов. Учитель химии должен в совершенстве владеть математическим языком, но следует всегда помнить, что применение математического аппарата при решении химических задач не является самоцелью, а только рассматривается как практическое приложение к химии.

8.02.2008

• Назад
• Вперед