Графическое решение уравнений, содержащих модуль функции и параметр
На выпускных экзаменах для учащихся большую трудность представляют задачи, содержащие параметры. Поэтому, начиная с 8 класса, мы учимся решать такие задачи. Но не всегда их можно решить аналитически, иногда гораздо легче они решаются графически. По программе 8 класса, изучая тему: “Модуль функции”, построение графиков с модулем с учениками сильной подгруппы мы разбирали графическое решение уравнений, содержащих модуль функции и параметр. При решении подобных задач необходимо уметь строить графики, содержащие модуль функции, знать линейные преобразования функций и уметь исследовать решение в зависимости от изменения параметра.
Рассмотрим пример, предложенный в вариантах центрального тестирования 2002 г.
1. Найдите все значения параметра a, при которых
графики функций 
и y=|x+a| имеют одну общую точку.
При решении данной задачи строим график, не
содержащий параметр 
:
При x<-4; y=-1,
При x>-4; y=1, - две прямые, параллельные оси Ох.
Далее строим y=|x+a|, график получен из графика y=|x|
смещением вдоль оси Ох на (-a) единиц, перемещая y=|x|
влево вдоль оси Ох определяем, где эти графики
пересекаясь будут иметь одну общую точку.
Получим: 
.
Следовательно ответ: 
2. При каких значениях параметра a уравнение 
имеет три
решения. Найти эти решения.
Преобразуем уравнение к виду: 
; Сначала строим график 
, полученный из
графика y=|x| перемещением вдоль оси Ох на 4
единицы, вдоль оси Оу на (-3) единицы и зеркальным
отображением отрицательной части графика
относительно оси Ох, так как 
по свойству модуля.
Далее график 
- прямую линию, параллельную оси Ох перемещаем
вдоль оси Оу до тех пор, когда она пересечет
первый график в трех точках.
Получим 
Ответ: при 
уравнение имеет три решения: 
; 
;
.
3. Сколько решений в зависимости от параметра a
имеет уравнение 
?
Строим 
;
Дробно линейная функция, график гипербола,
полученная из графика 
перемещением вдоль оси Ох на (-1) единицу,
вдоль оси Оу на (-2) единицы, а затем по свойству
модуля, т.к. он не может быть отрицательным, всю
часть графика, расположенную ниже оси Ох,
зеркально отображаем относительно оси Ох.
Пересекая данный график с прямой 
, параллельной оси Ох,
получаем ответ:
При
- нет решений
При
- 1 решение
При
- 2 решения.
Примеры для самостоятельного решения:
- Найдите все значения a, при которых графики
и y = |x+a| имеют одну
общую точку. - При каких значениях a уравнение
имеет 4 решения? - Сколько решений в зависимости от параметра a
имеет уравнение
?
11.02.2008