Информационно-образовательный портал
e-mail: [email protected]

Публикация статей в журналах ВАК

Уважаемые авторы!

Идет прием статей для бесплатной публикации в журнале из перечня ВАК РФ по направлениям: экономика, философия, политология, педагогика, филология, биология, сельское хозяйство, агроинженерия, транспорт, строительство и архитектура.

Журналы реферируются ВИНИТИ РАН. Статьям присваивается индекс DOI. Журналы включены
в международную базу Ulrich's Periodicals Directory и РИНЦ.

В мультидисциплинарных журналах возможна бесплатная публикация по всем другим направлениям.

Максимально оперативно отвечаем на все возникающие вопросы. Гарантируем индивидуальный подход к каждому.

Разработка уроков по теме: "Квадратные уравнения"

Цель: Познакомить учащихся с квадратными уравнениями, дискриминантом, теоремой Виета.

Показать учащимся, как решаются квадратные уравнения различных видов.

Развивать внимание и логическое мышление учащихся.

Воспитывать аккуратность и четкость в записях учащихся.

Оборудование:

Ход урока:

  • Оргмомент.
  • Составление конспекта лекции.

Определение. Уравнение вида ax2+bx+c=0, где а, b и c – некоторые числа, причем а 0, а х – переменная, называется квадратным.

Примеры: 2х2+2х+1=0; -3х2+4х=0; 9х2-25=0. В каждом из уравнений назвать, чему равны коэффициенты.

Определение. Если в уравнении вида ax2+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен 0, то уравнение называют неполным квадратным.

1. Если с=0, то уравнение имеет вид ax2+bx=0. Оно решается разложением на множители. Уравнение данного вида всегда имеет два корня, всегда один из них равен нулю.

Пример: 4х2+16х=0 Решить самостоятельно:

4х (х+4) = 0 3х2-6х=0

4х=0 или х+4=0

х=0 х= -4

Ответ: х=0, х= -4.

2. Если b=0, то уравнение имеет вид ax2+c=0. Оно решается только тогда, когда у коэффициентов а и с разные знаки. При решении уравнений применяет формулу разности квадратов.

Пример: 1) 1-4y2=0 2) 6х2+12=0

(1-2y) (1+2y) =0 Решений нет, так как это сумма квадратов, а не разность.

1-2y=0 или 1+2y=0 3) Решить самостоятельно -х2+3=0
2y=1 2y= -1 (3-х)(3+х)=0
y=0,5 y= -0,5 3-х=0 или 3+х=0
Ответ: y=0,5; y= -0,5 х= 3 х=-3

3. Если b=0 и с=0, то уравнение имеет вид ах2=0. Уравнение имеет единственный корень х=0.

Решение полных квадратных уравнений

Определение. Выражение вида D=b2-4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

Примеры. Вычислите дискриминант

2+3х+1=0, a=2, b=3, c=1 D=32-4* 2* 4= -23

2-2х-1=0, a=5, b=-2, c=-1 D=(-2)2-4* 5* (-1)= 24

Самостоятельно: вычислите дискриминант -2х2-2х+5=0, 3х2+7х-3=0.

Для нахождения корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0 пользуются формулами:

Если второй коэффициент является четным числом, формулу корней удобно записать в другом виде: ax2+2kx+c=0; D= k2-2ac,

Вывод:

1. Если D>0, то уравнение имеет два разных корня.

2. Если D=0, то уравнение имеет два равных корня.

3. Если D<0, то уравнение не имеет решений.

Примеры:

1) 3х2+5х-8=0

Решение:

a=3, b=5, c=-8, D=32-4E 5* (-8)= 121>0

Ответ: 

2) х2+5х+10=0

Решение:

a=1, b=5, c=10, D=52-4E 1* 10= -15<0

Ответ: корней нет.

3) Решить самостоятельно

х2-6х+9=0 a=1, b=-6, c=9

I способ (х-3)2=0 II способ D=(-6)2-4* 1* 9= 0
  х=6/2
  х=3
  Ответ: х=3.

Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Задача1. Сумма двух чисел равна 13, их произведение равно 40. Найдите эти числа

Решение: I+II=13, I * II=40

Пусть х – первое число, тогда (13-х) – второе число. Зная, что их произведение равно 40, составляем уравнение:

х (13-х)=40,

2+13х-40=0,

х2-13х+40=0,

D=(-13)2-4 * 1 * 40= 9

 х1=8, х2=5.

Если первое число 8, тогда второе 5; если первое число 5, тогда второе 8.

Ответ: 8 и 5.

Теорема Виета.

Определение. Квадратное уравнение с первым коэффициентом, равным единице, называется приведенным x2+bx+c=0. Любое квадратное уравнение можно сделать приведенным.

2-2х+3=0. Разделим обе части уравнения на 5.

– приведенное квадратное уравнение.

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Пример. Проверить теорему Виета для уравнения.

1) х2-9х+20=0.

х12=9 х1=4 D=(-9)2-4* 20= 1

х1E х2=20 х2=5 , х1=4, х2=5

Ответ: х1=4, х2=5.

2) самостоятельно х2+16х+63=0

Обратная теорема. Если два числа в сумме равны b, а в произведении равны с, то эти числа являются корнями квадратного уравнения x2-bx+c=0.

Пример: 1) Составить квадратное уравнение, чтобы корни его были 2 и 3.

Решение. х12=2+3=5, значит, b=-5

х1* х2=6, значит, с=6

Ответ: х2-5х+6=0.

2) самостоятельно х1=4, х2=6. Составить квадратное уравнение.

Определение. Уравнение вида ax4+bx2+c=0, называется биквадратным.

Биквадратное уравнение решается с помощью замены вида x2=t

Пример 1) x4-15x2-96=0

Решение

Пусть x2=t, тогда t2-15t-96=0

t1+t2=15, t1=16

t1* t2=-16, t2=-1

x2=16 x2=-1

х=G 4 корней нет

Ответ: х1=4, х2=-4.

2) самостоятельно x4-11x2-12=0.

Итог урока.

Домашнее задание. Выучить конспект, п 19-23, ответить на вопросы 1-5 после п. 23

Урок решения типовых задач.

Тема: Решение уравнений и задач с помощью составления уравнений.

Цели: Вырабатывать у учащихся умения и навыки по решению уравнения и задач, применяя теорему Виета и формулы корней квадратного уравнения.

Развивать логическое мышление и внимание учащихся.

Проверить усвоение теоретического материала по теме “Квадратные уравнения”.

Оборудование; таблицы, кодоскоп, листочки для математического диктанта.

Ход урока:

  • оргмомент.
  • индивидуальная работа одного ученика у доски по карточке:

1. Запишите в общем виде квадратное уравнение.

2. Формула дискриминанта.

3. Формулы корней квадратного уравнения.

4. Теорема Виета.

В) Устно по кодоскопу со всем классом.

1. Назовите коэффициенты в уравнениях

2-5х=0 -5х2+3х+6=0 х2-2х-2=0 4х2+7=0 3х2=9

2. Найдите корни уравнения

х2-2х-35=0 b2-10b+24=0

Г) Математический диктант на листочках.

1. Запишите квадратное уравнение, у которого первый коэффициент 3 (-5), второй –5 (3), свободный член равен 0.

2. Запишите приведенное квадратное уравнение, у которого второй коэффициент и свободный член равны –2 (-3).

3. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен –5 (-3), свободный член равен 7 (5) и решите его.

4. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 3 (5), второй коэффициент равен 5(7) и решите его.

Работа с классом.

Решите уравнения.

1. 2х2+7х-9=0 2. 3х2=18х
Решение: Решение:
а=2, b=7, с=-9 2-18х=0
D=b2-4ac, D=49-4* 2* (-9), D=121, D>0 2 корня 3x(x-6)=0
  3x=0 или x-6=0
x=0 или х=6  
Ответ: x1=1, x2=-4,5. Ответ: 0; 6.
3. 100х2-16=0, 4. х2-2х-35=0
Решение: Решение:
(10x+4)(10x-4)=0 х12=2 х1=7
10x+4=0 или 10x-4=0 х1х2=-35 х2=-5
х=-0,4 х=0,4  
Ответ: х 1=0,4 х 2=-0,4 Ответ: х1=7; х2=-5

Решите задачи

1. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см2.

Решение: Пусть х см длина прямоугольника, тогда y см – ширина. Зная, что Р=20 см и S=24 см2составляем систему уравнений:

2(x+y)=20,

xy=24;

x+y=10, x=6 или х=4

xy=24 у=4 у=6

Ответ: 6 см и 4 см.

2. В уравнении x2+px-18=0 один из корней равен –9. Найдите другой корень и коэффициент р.

Решение: х12=-p, -9+ х2= -р,

х1 * х2=-18; -9 * х2=-18 х2=2, тогда р=7.

Ответ: х2=2, р=7.

Итог урока.

Домашнее задание.

“3”: Решите уравнения: 3х2+13х-10=0, 2х2-3х=0, 16х2=49, х2-16х+63=0.

“4” и “5”: Решите задачи: 1. Периметр прямоугольника равен 30 см, а площадь 56 см2. Найдите его стороны. 2. В уравнении x2+11x+q=0 х1=-7. Найдите другой корень и коэффициент q.

Урок-зачет по теме “Квадратные уравнения”.

Цели: Проверить знания учащихся, полученные на уроках по заданной теме.

Систематизировать знания, умения и навыки учащихся по решению квадратных уравнений.

Развивать логическое мышление учащихся.

Работать над четкостью и аккуратностью записей учащихся.

Оборудование: Зачетные карточки, рис.1, рис.2, кодоскоп.

Ход урока:

  • Оргмомент.
  • Устно по кодоскопу:

1. Укажите в квадратном уравнении его коэффициенты:

х2+4х+5=0, 3х2-2х-11=0, 12х2-4х=0, х2-3=0.

2. Решите уравнение: 4х2-9=0, 1- 4y2=0, 5u2-u=0.

Работа учащихся у доски.

1. Решить уравнения 3х2-7х=0, х2-5=0.

2. Записать коэффициенты и вычислить D: -2х2+3х+7=0, 3х2-х+2=0.

3. Решить уравнение х2-х-12=0.

4. Составить уравнение по его корням: 

5. Решить уравнения выделением квадрата: х2+8х-1=0, х2+10х+25=0.

6. Решить биквадратное уравнение: x4-13x2+36=0.

Вопросы:
  1. Какое уравнение называется квадратным?
  2. Какое уравнение называется неполным квадратным?
  3. Виды неполного квадратного уравнения и способы их решения.
  4. Какое уравнение называется приведенным квадратным?
  5. Способы решения приведенного квадратного уравнения.
  6. Какое выражение называется дискриминантом?
  7. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
  8. Формулы корней квадратного уравнения.
  9. Как читается теорема Виета?

Дополнительно, на “4” и “5”:

  1. Вывести формулу корней квадратного уравнения.
  2. Доказать теорему Виета и ей обратную.
  3. Какое уравнение называется биквадратным? Как оно решается?

Практическая часть зачета (в 4 вариантах, задания аналогичные).

1) Решить уравнения: 16х2-625=0, 100х2-10х=0, 3х2-5х-2=0, х2-6х-7=0.

2) Найдите два последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 221.

Составьте квадратное уравнение, чтобы оно имело корни: 0 и 7/3, 1 и 10.

Итог урока.

Домашнее задание по [1] (на две недели):

“3”: № 510 (а,д), 507 (б,г), 526 (а), 534 (а,б), 556.

“4”: № 512 (а), 515, 526 (в), 536 (д,е), 551 (б), 559, 557.

“5”: № 514 (б,д), 517, 525 (г), 540 (е,ж), 551 (а), 564, 567.

Обобщающий урок “Оцени себя” по теме “Квадратные уравнения”.

Цели:

Обобщить, систематизировать и расширить знания учащихся по теме “Квадратные уравнения”.
Развивать логическое мышление и элементы творческой деятельности учащихся.
Воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию своих знаний, формировать дружеские отношения и умение контролировать свои действия.

Оборудование: телефоны (2 шт.), кодоскоп, табло “Секундная стрелка”, три подсказки (50х50, звонок другу, помощь зала), задания игрокам.

Ход урока:

  • Оргмомент.
  • Учащиеся разбиты на три группы.

Ведущая: учитель математики

Помощники: два ученика из класса.

Диктор: ученик класса.

I отборочный тур (на ответ 10 секунд). Расположите в порядке изучения нами тем.

1. Квадратные уравнения.

2. Квадратные корни.

3. Рациональные дроби.

Ответ: 3, 2, 1.

Победитель отборочного тура отвечает на 9 вопросов. Ответы: A, B, C, D. Оценка ставится в зависимости от числа правильных ответов: за три первых вопроса – оценка “3”, за три следующих вопроса – оценка “4”, за три последних – оценка “5”. В случаях, когда количество ответов находится в промежутке между 3 и 6 или 6 и 9, оценка ставится по нижней границе интервала ответов. Участник может воспользоваться тремя подсказками.

Вопросы:

1. Квадратным уравнением называется уравнение вида …

a) ax2+bx+c=0; b) bx+c=0,; c) ax2+c=0,; d) ax2=0, где х- переменная и а0.

2. В каком из квадратных уравнений правильно указаны его коэффициенты?

a) 5х2-9х+4=0, a=5, b=9, c=4; b) х2+3х-10=0, a=1, b=3, c=-10;

c) -х2-8х+1=0, a=1, b=-8, c=1; d) 6х2-30=0, a=3, b=-30, c=0.

3. Решите уравнение 2х2=0. a) 2; b) -1; c) 1; d) 0 .

4. Какое из выражений называют дискриминантом?

a) d=b2-4ac; b) d=-(-b)2-4ac; c) d=b2+4ac; d) d=b-4ac.

5. Чему равен дискриминант квадратного уравнения 2х2+3х+1=0?

a) 0; b) 2; c) -1; d) 1.

6. При каком условии дискриминанта уравнение не имеет корней?

a) d>0; b) d>1; c) d<0; d) d=0.

7. Какой теоремой можно пользоваться при решении приведенного квадратного уравнения?

a) Пифагора; b) Виета; c) о сумме углов; d) нет такой теоремы.

8. Найдите значение корня † 2809. a) 35; b) 33; c) 53; d) 43 .

9. Решите уравнение х2-7х+10=0. a) 5 и 2; b) –5 и 2; c) –5 и -2; d) 5 и -2 .

Итог I тура. Рекламная пауза. Сообщение “Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне”. [2]

II отборочный тур. В какой последовательность был нами изучен материал по теме “Квадратные уравнения”:

1. Решение задач с помощью квадратных уравнений.

2. Определение квадратного уравнения.

3. Решение квадратных уравнений по формуле.

Вопросы.

1. Как правильно пишется слово d?

a) дискриминант; b) дескриминант; c) дискреминант; d) дискрименант .

2. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если d=25?

a) нет корней; b) 1; c) 2; d) 5 .

3. Какой формулой пользуемся при решении квадратного уравнения?

a)  b)  c)  d) 

4. Назовите, чему равна сумма и произведение корней квадратного уравнения х2-37х+27=0.

a) 37, 27; b) –37, 27; c) –37, -27; d) 37, -27 .

5. Найдите корни уравнения х2-6=0. a) 6; b) -6; c) +/- 6; d) 6.

6. Найдите подбором корни уравнения х2-9х+20=0.

a) –5 и -4; b) 9 и 11; c) 5 и 4; d) –5 и 4 .

7. В уравнении х2+pх-35=0 один из корней равен 5. Найдите другой корень.

a) -7; b) 7; c) 30; d) 35 .

8. Если в уравнении левая и правая части являются рациональными выражениями, то такие уравнения называются…

a) квадратными; b) неполными; c) целыми; d) рациональными.

9.Вычислите 552.

a) 3025; b) 2525; c) 2025; d) 110.

Итог II тура. Рекламная пауза. Сообщение “Как составлял и решал квадратные уравнения Диофант” [2].

III отборочный тур. При решении дробных уравнений целесообразно поступать следующим образом…

1. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

2. Решить получившееся целое уравнение.

3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

4. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

Вопросы.

1. Выберите биквадратное уравнение

a) k4-3k2+2=0; b) k3+3k2+k=0; c) k2+3=0; d) 4k2-k=0 .

2. При каком условии d уравнение имеет один корень? a) d=0; b) d<0; c) d>0; d) d=1.

3. Найди корни уравнения х2=-16. a) решений нет; b) 4, -4; c) 4; d) -4 .

4. Реши уравнение х2-8х+7=0. a) –7 и -1; b) –7 и 1; c) 7 и -1; d) 7 и 1 .

5. Автор учебника, где рассматривается тема “Квадратные уравнения”?

a) Виленкин; b) Погорелов; c) Пифагор; d) Макарычев.

6. Реши уравнение 2х2+3х=0. a) 0 и 1,5; b) 0 и –1,5; c) 0; d) 1,5 .

7. При каких значениях х верно равенство (3х+1)2=3х+1?

a) 0; b) -1; c) 1; d) нет таких значений .

8. Как устроен данный числовой “угол”? Как будет выглядеть следующая строка?

1

2 6

3 9 27

a) 4, 12, 36, 108; b) 4, 8, 16, 32; c) 4, 9, 13, 18; d) 4, 15, 26, 37 .

9. Вычисли 196+ 7396. a) 10; b) 14; c) 86; d) 100 .

Итог III тура. Рекламная пауза. Сценка на уроке алгебры в 8 классе – тема “Квадратный корень” (связь с биологией тема “Корень”).

Итог урока. Выставление оценок учащимся.

Список литературы

1. Алгебра. Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. Под ред. С. А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2000.
2. Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. – М.: Просвещение, 1982.

Метки: Математика