Геометрическая последовательность. Числа Фибоначчи
Цели урока:
1) закрепить знания по теме «Последовательности»;
2) ознакомить с приложением последовательностей;
3) ввести понятие чисел Фибоначчи и золотого сечения;
4) развивать логическое мышление учащихся.
Ход урока
I. Орг момент (3 мин)
Здравствуйте. Сегодняшний урок посвящен использованию последовательностей в природе. Мы рассмотрим примеры, где встречаются последовательности в жизни и природе.
II. Применение геометрической прогрессии (13 мин)
Полезная информация.
Практически нет места на Земле, где бы ни встречались бактерии. Они живут во льдах Антарктиды при t - 830С и в горячих источниках, t которых достигает + 850 до +900С.
Число бактерий различно в воздухе проветренных и непроветренных помещений.
Так, в классе после проветривания перед началом урока бактерий в 13 раз меньше, чем в той же комнате после урока. Условия жизни бактерий разнообразны, также разнообразны и функции бактерий в нашей жизни. Но всевозможные виды бактерий размножаются делением одной клетки на две, каждая из этих двух в свою очередь также делится на две и получается 4 бактерии, потом 8 и т.д. Если одну бактерию поместить в идеальные условия
с обилием пищи, то за одни сутки её потомство должно составить
281 474 976 710 656 клеток. Таким образом, мы имеем дело с примером геометрической прогрессии в природе.
Далее учащимся предлагается решить задачу.
ЗАДАЧА.
Предположим, что в кабинете, где проходит урок математики, численность
бактерий равняется 1000 ед. на м2, тогда какой будет численность к концу рабочего дня?
При благоприятных условиях деление клеток у многих бактерий может происходить через каждые 20-30 минут.
Решение:
Вычислим последовательно численность колонии бактерий 1-ого, 2-ого, 3-его, 4-ого, 5-ого, 6-ого поколений.
Имеем, для геометрической прогрессии:
Если рассматривать, что общая продолжительность учебных занятий 5 часов, то за это время колония бактерий даст 10 поколений. И тогда численность 10 поколения можно рассчитать по формуле
Мы можем рассчитать численность бактерий в кабинете к концу учебных занятий, используя формулу суммы 10 членов геометрической прогрессии:
Полезная информация.
При таком быстром размножении потомство одной бактерии за 5 суток способно образовать массу, которой можно было бы заполнить все моря и океаны. Однако в природе этого не происходит, так как большинство бактерий быстро погибает под действием солнечного света, при высушивании, нагревании до 650 - 1000С, под действием
дезинфицирующих веществ.
Вот почему в период эпидемий необходимы профилактические меры, иначе вредоносные бактерии поглотят человечество. Если дать видам размножаться свободно, без ограничения, численность любого из них росла бы в геометрической прогрессии, и это несмотря на то, что одни производят за всю жизнь всего несколько яиц или детёнышей, а другие тысячи и даже миллионы зародышей, которые могут вырасти во взрослые организмы. Способность к размножению у некоторых организмов настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы
составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.
III. Последовательность Фибоначчи (25 мин)
Учащимся предлагается решить следующую задачу.
Задача.
Кто-то поместил пару кроликов в некоем замкнутом пространстве, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что каждый месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а способность к производству потомства у них появляется по достижению двухмесячного возраста.
Решение.
В итоге получается такая последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, где через запятую показано количество пар кроликов в каждом из двенадцати месяцев. Эту последовательность можно продолжать бесконечно долго. Её суть в том, что каждое следующее число является суммой двух предыдущих.
Исследуем свойства этой последовательности.
Найдем отношение какого-либо члена последовательности к предшествующему
3:2=1,5
5:3=1,(6)
8:5=1,6
13:8=1,625
21:13=1,615
34:21=1,619
55:34=1,618
89:55=1,618
Откуда видно, что отношение какого-либо члена последовательности к предшествующему ему колеблется около числа 1,618, через pаз то превосходя, то не достигая его.
Найдем теперь отношение к последующему члену.
2:3=0,(6)
3:5=0,6
5:8=0,625
8:13=0,615
13:21=0,619
21:34=0,618
34:55=0,618
55:89=0,618
89:144=0,618
Отношение к следующему аналогично приближается к числу 0,618, что обратно пропорционально 1,618.
Если мы будем делить элементы последовательности через одно, то получим числа 2,618 и 0,382, которые так же являются обратно пропорциональными. Это так называемые коэффициенты Фибоначчи.
Но зачем нам эти коэффициенты? Так мы приближаемся к одному из самых загадочных явлений природы. Фибоначчи по сути не открыл ничего нового, он просто напомнил миру о таком явлении, как Золотое Сечение, которое не уступает по значимости теореме Пифагора.
Золотое сечение - высшее проявление совершенства целого и его частей в науке, искусстве и природе.
Если на простом примере, то Золотое Сечение - это деление отрезка на две части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как их сумма (весь отрезок) к большей.
Если мы примем весь отрезок c за 1, то отрезок a будет равен 0,618, отрезок b - 0,382, только так будет соблюдено условие Золотого Сечения (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). Отношение c к a равно 1,618, а с к b 2,618. Это всё те же, уже знакомые нам, коэффициенты Фибоначчи.
Разумеется есть золотой прямоугольник, золотой треугольник и даже золотой кубоид. Пропорции человеческого тела во многих соотношениях близки к Золотому Сечению.
Но самое интересное начинается, когда мы объединим полученные знания. На рисунке наглядно показана связь между последовательностью Фибоначчи и Золотым сечением. Мы начинаем с двух квадратов первого размера. Сверху добавляем квадрат второго размера. Подрисовываем рядом квадрат со стороной, равной сумме сторон двух предыдущих, третьего размера. По аналогии появляется квадрат пятого размера. И так далее пока не надоест, главное, чтобы длина стороны каждого следующего квадрата равнялась сумме длин сторон двух предыдущих. Мы видим серию прямоугольников, длины сторон, которых являются числами Фибоначчи, и, как не странно, они называются прямоугольниками Фибоначчи.
Если мы проведём плавную линий через углы наших квадратов, то получим ни что иное, как спираль Архимеда, увеличение шага которой всегда равномерно.
IV. Итоги урока (3 мин).
Учащимся предлагается ответить на вопросы.
1) Где можно встретить архимедову спираль в природе? (раковина улитки, спиральный галактики, подсолнечник)
2) В какой последовательности размножаются бактерии?
3) Почему бактерии не заполняют все пространство?
4) как связано золотое сечение с последовательностью Фибоначчи?
15.11.2012