Геометрическая прогрессия

Категория: Математика.

Цели:

• Обучающая. Систематизация изученного учащимися материала, ликвидация пробелов в знаниях учащихся.

Развивающая. Развивать логическое мышление, математическую зоркость. Воспитывающая. Формировать наблюдательность, внимательность и интерес к математике.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

1. Наличие работ (карточки, составленные самими учащимися, с решениями).

2. Фронтальный опрос.

а) дать определение числовой последовательности, привести пример;

(Последовательность – переменная величина, зависящая от натурального числа. Последовательность, элементы которой – действительные числа, называется числовой, например, ).

б) назвать виды числовых последовательностей (конечные и бесконечные), привести пример;

(Если последовательность содержит конечное число членов, то ее называют конечной. Например, последовательность двузначных чисел: 10; 11; 12; 13;…;95; 96; 98; 99.

Если последовательность содержит бесконечное число членов, то ее называют бесконечной, например, 2; 4; 6; 8; 10; 12;…; 2n).

в) дать определение арифметической прогрессии, привести пример;

(Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом, например, 1; 5; 9; 13; 17;…).

г) дать определение геометрической прогрессии, привести пример;

(Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Например, 2; -6; 18; -54;…).

д) как обозначаются члены геометрической прогрессии? Привести пример;

(члены геометрической прогрессии, например, если 2; -6; 18; -54;… - геометрическая прогрессия, то ).

е) что называют знаменателем геометрической прогрессии? Привести пример;

(Отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему члену, называется знаменателем геометрической прогрессии, например,

).

ж) какими замечательными свойствами обладают члены геометрической прогрессии? Привести пример;

(1⁰. Характеристическое свойство: для всех b_n+1. Например, если 3; 6; 12; 24; 48;… - геометрическая прогрессия, то

2⁰.

3⁰. ).

з) как найти n-й член геометрической прогрессии? (вывод формулы), привести пример;

Например, если а q = 2, то ).

и) как доказать истинность формулы ? (доказать методом математической индукции).

(Предложение A(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия:

1. Предложение A(n) истинно для n = 1.

2. Из предложения, что A(n) истинно для n = k, где k – любое натуральное число, что оно истинно и для следующего значения n = k + 1). .

1. Пусть n = 1, тогда , высказывание А(1) истинно.

2. Предположим, что для некоторых значения истинно. Тогда, так как , очевидно, что и A(k + 1) истинно. Действительно, , ч.т.д.).

к) как задать геометрическую прогрессию? Привести пример;

(Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и знаменатель. Например, пусть b₁ = 4 и q = 0,1, то получим геометрическую прогрессию: 4; 0,4; 0,04; 0,004; 0,0004;…).

л) как найти сумму n – первых членов геометрической прогрессии? (вывод формул), привести пример;

(Пусть первых членов геометрической прогрессии (b_n), тогда . Умножим обе части на . Учитывая, что , , получим: . Найдем разность . Отсюда следует, что при (I). Так как , то получим: (II) при .

Например, если -5; -10; -20; -40;… - геометрическая прогрессия, то .

Пусть , тогда , отсюда ).

м) какое число называется суммой бесконечной геометрической прогрессии?; вывод формулы ;

(Пусть геометрическая прогрессия, где .

, так как , то , а значит, , и бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму только при . Например, найдем S, если ).

3. Устный счет:

а) является ли последовательность (X_n) – геометрической прогрессией:

1) 7;7;7;…; 3) 5;0;7;0;9;0;…;

2) 1;4;16;64;…; 4) 2;6;18;54;…?

(1) да, является;

2) да, является;

3) не является.

4) да, является.)

б) назовите первый, третий, пятый члены последовательности, заданной формулой , будет ли последовательность геометрической прогрессией?; чему равен знаменатель прогрессии?

знаменатель геометрической прогрессии).

в) известно, что числа образуют геометрическую прогрессию, является ли геометрической прогрессией последовательность ( да, последовательность является геометрической прогрессией).

г) последовательность (b_n) геометрическая прогрессия, в которой b₁ = 3, ; выразить: .

(;

;

;

).)

III. Расширение и углубление знаний учащихся по данной теме.

Упражнение 1. Докажите, что если  (b_n) геометрическая прогрессия, то для любого выполняется равенство: .

Решение.

Если  (b_n) – геометрическая прогрессия, то , значит, ; , а , отсюда:

; так как , то , что и требовалось доказать.

Упражнение 2. В геометрической прогрессии (x_n):

а) найти q и n.

б) , найти n и x_n

Решение.

а) , 

.

б)

Упражнение 3. В геометрической прогрессии  (b_n) . Найти S₁₀.

Решение.

;

;

;

.

Упражнение 4. Знаменатель геометрической прогрессии  (b_n) равен -2, а S₅ = 11. Найти b₇.

Решение.

, отсюда имеем, что

, значит, .

Упражнение 5. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии: ; 4; ;…

Решение.

.

Значит, .

.

Упражнение 6. (Дополнительное). Разность между пятым и третьим членами геометрической прогрессии равна 144, а между четвертым и вторым равна 48. Найти сумму шести первых членов этой прогрессии.

Решение.

.

по условии.

Так как , то ;

Так как то ;

.

;

.

Итак,

Ответ: S₆ = 728.

IV. Итог урока. (выставление отметок)

V. Домашнее задание (по записи).

Повторить п. 18–20 (определения, формулы); подготовиться к контрольной работе.

Упражнение 1.

Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии  (b_n) с положительными членами, зная, что b₃ = 0,05 и b₅ = 0,45.

Упражнение 2.

Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии: 36; -12; 4;…

Упражнение 3.

Определить первый член, знаменатель и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если известно, что разность между ее пятым и третьим членами 72, а разность между четвертым и вторым 36.

4.05.2011

• Назад
• Вперед