Геометрические решения негеометрических задач. Системы уравнений

Цели урока:

  • повторить приемы преобразования графиков функций;
  • утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике;
  • формулу нахождения расстояния между двумя точками;
  • уравнение прямой, проходящей через две точки.
  • формировать умение «перевода» условия задачи на графический язык.
  • усилить визуальную составляющую решения математических задач.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент. Постановка целей урока

Учитель математики старается научить своих учеников решать задачи. Поиск решения задачи приводит учащихся к необходимости выдвижения гипотезы, которая в последствии либо доказывается, либо опровергается. Совершая поиск решения задачи вы изучаете математику. И сегодня мы вновь будем рассматривать нетрадиционные приемы решения систем уравнений. А начнем мы 
с повторения приемов преобразования графиков функций, утверждений о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

2. Самостоятельная работа

Учащиеся 1 ряда (на листках): №212 (13 – 1 вариант; 14 – 2 вариант).
Учащиеся 2 ряда (на листках): Решить систему id18100 
Ученик 1 (работа на интерактивной доске) №212(16)
Ученик 2 (за доской). Работа с карточкой: «Назови формулу» (рисунок 2, рисунок 3)
Учащиеся 3 ряда (на местах, в тетрадях): совместная работа с учителем.

Вопросы учителя:

1) Помните ли вы теорему Пифагора? Сформулируйте
2) Что дано? Изобразите (вызвать к доске ученика)
3) Что доказать? Пусть катеты равны х, у, гипотенуза 8. Запишите равенство.
4) Сформулируйте утверждение обратное теореме Пифагора. Оно верно?
5) Что дано?
6) Что доказать? То есть если у2 + z2 = 36, то …

Ответы учащихся:

1) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
2) Прямоугольный треугольник.
3) Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов,   х2 + у2 = 64
4) Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. Да
5) Треугольник, в котором а2 + в2 = с2
6) Угол С прямой. …то у, z, 6 стороны  прямоугольного треугольника.

– А теперь давайте вспомним утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике (вызвать к доске ученика)

1) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть…
2) Что дано? Изобразите.
3) Что доказать?
4) Сформулируйте обратное утверждение. Оно верно? Докажите.
1) Среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
2) Прямоугольный треугольник; высота, опущенная из вершины прямого угла

4) Если высота треугольника, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится сторона этой высотой, то она проведена из вершины прямого угла. Да

3. Сбор листов с самостоятельной работой. Проверка задания, выполненного

1) Учеником 1. Путем наложения готового ответа.
2) Учеником 2.  На интерактивной доске продемонстрировать карточку с заданиями и выбрать ученика, который бы прокомментировал правильность ответов своего одноклассника.

Рисунок 2

id18100

Рисунок 3

id18100

4. Решение задач

ЗАДАЧА 1. Из условий х2 + у2 = 64, у2 + z2 = 36, у2 = хz для положительных х, у, z укажите значение выражения ху + уz

Комментарий учителя:  Часть учащихся в классе может на данный момент  дать ответ. Они решали это задание, что называется в «лоб». Но вопрос задачи не требует решать систему. Надо лишь найти значение выражения. Попробуем перевести задачу на геометрический язык.
(Вызвать к доске ученика, желательно того, кто работал совместно с учителем на 2 этапе урока)
(На интерактивной доске продемонстрировать учащимся итоги совместной работы 3 ряда с учителем)

РЕШЕНИЕ

Рисунок 4

id18100

1. Итак, первое уравнение…

2. А оба уравнения?

 

 

 

 

 

 

3. О чем говорит третье уравнение?
4. А что найти?
5. У – это …
Х + Z – это …
6. Произведение стороны на высоту к ней проведенную…
7. Но треугольник АВС …
8. А нам надо найти…

1. По теореме, обратной теореме Пифагора, Х, У, 8 длины сторон прямоугольного треугольника и  у, z, 6 длины сторон другого прямоугольного треугольника.
2.

Рисунок 1

id18100

3. Угол АСВ – прямой
4. ХУ + УZ = У(Х + Z)
5. У – это высота в треугольнике, Х + Z – это сторона треугольника
6. Это площадь треугольника АСВ
7. Прямоугольный. Его площадь  есть половина произведения катетов.
8. У(Х + Z) = 2S, 2S = 6 * 8 = 48

ОТВЕТ: 48.

ЗАДАЧА 2. Решите систему уравнений

id18100

Комментарий учителя: Прежде чем приступить к решению давайте вспомним а) как найти расстояние между двумя точками б) уравнение прямой, проходящей через две точки.

(На интерактивной доске, используя «шторку» вывести левую часть рисунка 5)

Рисунок 5

id18100

РЕШЕНИЕ (вызвать ученика к доске)

1. Обратите внимание на первое  слагаемое второго уравнения

 

2. С геометрической точки зрения это…
3.А второе слагаемое?

 

4. (Открыть «шторку» и ввести обозначения). А что же представляет собой число 10?

 

5. И где же находится точка М?

6. Значения х и у удовлетворяющие второму уравнению системы есть координаты точки М принадлежащей отрезку АВ. Второе уравнение системы можно заменить уравнением прямой АВ  с ограничением на значения Х и У.

1. id18100

2. Расстояние между точками с координатами (10; 5) и (х; у)
3. id18100
Расстояние между точками с координатами(2;-1) и (х; у)

4. В(10; 5),  М(х;у),  А(2; -1)
АВ = id18100
5. ВМ + МА = ВА, следовательно М принадлежит отрезку АВ, то есть id18100

6. Уравнение прямой АВ имеет вид :  id18100; 3х – 4у = 26

7. Итак id18100   id18100

ОТВЕТ: х = 6, у = 2

5. Запись домашнего задания.

ЗАДАЧА 1. Из условий х2 + у2 = 9, у2 + z2 = 16, у2 = хz для положительных х, у, z, не вычисляя их значений   укажите значение выражения ху + уz

ЗАДАЧА 2. Вычислите значение id18100, если х + у2 = 7,25, у2 – z = 2, id18100. х и у – положительное

ЗАДАЧА 3. Решите систему уравнений

id18100

5. Подведение итогов урока

– Итак, сегодня мы «смотрели» решение на чертеже и получали ответ. Мы не раз убеждались в истинности слов «мало знаешь – много пишешь!». Но сегодня я хотела бы вам сказать, что «обучение – это ремесло, использующее бесчисленное количество маленьких трюков».

ЛИТЕРАТУРА

1. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ 10: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. М.: Просвещение, 1995.
2. Генкин Г.З. Геометрические решения негеометрических задач: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 2007.

19.06.2010