Бесплатная публикация статей в журналах ВАК и РИНЦ

Уважаемые авторы, образовательный интернет-портал «INFOBRAZ.RU» в рамках Всероссийской Образовательной Программы проводит прием статей для публикации в журналах из перечня ВАК РФ по направлениям: экономика, философия, политология, педагогика, филология, биология, сельское хозяйство, агроинженерия, транспорт, строительство и архитектура и др.

Возможна бесплатная публикация статей в специализированных журналах по многим отраслям и специальностям. В мультидисциплинарных журналах возможна публикация по всем другим направлениям. 

Журналы реферируются ВИНИТИ РАН. Статьям присваивается индекс DOI. Журналы включены в международную базу Ulrich's Periodicals Directory и РИНЦ.

Подпишитесь на уведомления о доступности опубликования статьи. Первую рекомендацию вы получите в течении 10 минут - ПОДПИСАТЬСЯ

Глава из методического пособия "Логарифмы. Преобразования, уравнения, неравенства"

1. Простейшее логарифмическое уравнение.

Простейшее логарифмиче­ское уравнение — это уравнение вида         id18127,  гдеа > 0, id18127.Это уравнение имеет единственное решение id18127

Пример 1.  Решить уравнение        id18127

Пример 2.  Решить уравнение        id18127

Пример 3.  Решить уравнение        id18127

Решение:

Допустимые значения х определяются условиями:
id18127   id18127

Решаем уравнениеid18127


id18127,     id18127

С учетом системы ОДЗ получаем один корень: id18127

Ответ: 1

Приложение 1.

2. Логарифмические уравнения, сводящиеся к простейшим.

При решении уравнений вида   id18127 гдеа > 0id18127,id18127используется метод потенцирования.

Пример 1. Решить уравнениеid18127

Решение: Данное уравнение равносильно уравнению  id18127;id18127 получаем х=1, х=4.

Ответ:  1;4.

Пример 2. Решить уравнениеid18127

Решение:id18127

Ответ:  4.

Пример 3. Решить уравнениеid18127

Решение: Запишем равносильную систему:

id18127

Уравнение системы сводится к квадратному уравнениюid18127 корнями которого являются числа 1 и 4, из которых только 4 удовлетворяет неравенству системы.

Ответ:  4.

Иногда при решении уравнений используют свойства логарифмов.

Пример 4.  Решить уравнение id18127

Решение: Найдем область определения уравнения:

id18127

id18127 =id18127. Так как равны логарифмы, равны их основания, то равны и выражения, стоящие под знаком логарифма.

Получаем  id18127 = id18127;id18127  Оба корня удовлетворяют условию id18127

Ответ: 5; id18127.

Приложение 2.

3. Метод замены переменной.

Если уравнение можно привести к виду  id18127, то, полагая t= id18127,  получим уравнение id18127.

Пример1.  Решить уравнение id18127

Решение: Преобразуем уравнение, считая х> 0:

id18127

id18127

id18127уравнение примет вид id18127

id18127, корни которого t = 1, t = -7. Значит данное уравнение равносильно совокупности уравненийid18127 = -7, следовательно  х = 2, х = id18127 .Оба корня удовлетворяют условию id18127

Ответ: 2; .
Пример 2. Решить уравнение log2(2x) - log2(4x) = 3id18127

Решение: Преобразуем уравнение, считая х> 0:
(log22 + log2x) -(log24 + log2x) = 3(21og28 - 21og2x)2.
Пусть t= log2x. Тогда получим уравнение (1+t)(2+t)=3(6-2t)2, корнями которого являютсяid18127. Таким образом, приходим к совокупности


id18127

и в результате получаем: х =4; id18127.

Ответ: 4; id18127.

Приложение 3.

4. Метод логарифмирования.

Этот метод основан на следующем утверждении: если функции f(x) и h(х) принимают положительные значения на ОДЗ и а>0, а id18127 1, то уравнение f(х) = h(x) равносильно уравнению id18127на  ОДЗ.

Пример1. Решить уравнение  id18127=0,01.

Решение: Область определения уравнения х>0. В этой области выражения, содержащиеся в обеих частях уравнения, принимают только положительные значения, а тогда логарифмы этих выражений существуют. Взяв логарифмы от обеих частей уравнения по основанию 10, получим уравнение

id18127= lg 0,01  или     (1-lgх)lgх= -2.

Пустьu = lg х, получим  уравнениеи2 - и -2=0,   откудаid18127. Таким образом, задача свелась к решению следующей совокупности уравнений:id18127.

Получаем id18127.

Проверка: Оба найденных значения х принадлежат области определения уравнения, таким образом, id18127

Ответ: 0,1; 100.


Пример2. Решить уравнение id18127

Решение:  Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2 (можно 5 или 10).  Получим  id18127,

id18127 = id18127,

id18127 ,

группируем id18127

Ответ: 1; id18127.

Приложение 4.

5. Метод разложения на множители.

Пример1. Решить уравнениеid18127 

Решение: ОДЗ уравнения определяется системой неравенств


id18127

Пустьid18127.

Получим уравнение id18127, которое решим как квадратное относительно а и преобразуется к виду id18127.

Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности
id18127

В результате получаем  х = 6, х = -1, х = -4. В область определения уравнения входит только х = 6.

Ответ: 6.

Приложение 5.

6. Использование монотонности логарифмической функции.

Пример 1 .Решить уравнение  id18127

Решение: Область определения уравнения хid18127, кроме того  х id18127  Запишем уравнение в виде id18127

Заметим, что функция, стоящая в левой части уравнения – возрастает, а функция, стоящая в правой части уравнения – убывает.  Следовательно, данное уравнение не может иметь более одного корня, который находим подбором, х = 4.

Ответ: 4.

Пример 2. Решить уравнениеid18127

Решение: Запишем уравнение в виде

id18127
id18127
Так как  id18127 , то при всех х дробьid18127,

С другой стороны, разность   2 - (?– 2x)2 ? 2.  Рассматривая только те значения х, при которых 0 < 2 - (? - 2х)2 ? 2, используя монотонность функции  log2t,  приходим к неравенствам
id18127
id18127

из которых следует, что равенство левой и правой частей уравнения выполняется только в том случае, когда

id18127

Так как число  id18127  удовлетворяет первому уравнению системы, то оно является решением данного уравнения.

Ответ: id18127 .

Приложение 6.

8.07.2013